A Guided Tour of Mathematical Physics by R. Sneider

By R. Sneider

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Solution of Initial Value Problems in Classes of Generalized Analytic Functions

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Je näher wir dem Koordinatenursprung kommen (r -+ 0), um so stärker ändern sich cp und grad cp . Anhand unseres Beispiels haben wir damit folgende Eigenschaften des Gradienten verifiziert: • Der Gradient einer Funktion cp ( x, y, z) ist ein Vektor: grad cp 6cp 6cp 6cp) 6y' 6z = ( 6x' • Der Gradient steht senkrecht auf den Niveauflächen cp = const. Er zeigt in die Richtung der größten Veränderung der Funktionswerte cp=cp(x, y, z). • Der Betrag des Gradienten ist ein Maß für die Änderung des Funktionswertes senkrecht zu den Niveauflächen pro Wegeinheit.

0 gradf Aus Kapitel 2 wissen wir: Das Skalarproduktzweier Vektoren, von denen keiner der Nullvektor ist, verschwindet genau dann, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Da weder --+ --+ grad f noch dr ein Nullvektor ist, stehen grad f und dr senkrecht aufeinander. Daraus folgt: Der Gradient steht senkrecht auf der Höhenlinie. Dieses Ergebnis wollen wir an unserem Beispiel f ( x, y) = ! l+x +y 2 verifizieren. 36 14 Partielle Ableitung, totales Differential und Gradient Der Gradient ist: grad f =- [(1 + x~x+ y 2)2, (1 + x~y+ y2)2] · Dies ist ein Radialvektor, und der Gradient steht damit senkrecht auf den Höhenlinien um den Koordinatenursprung.

Wir erweitern jetzt den Integralbegriff. Unter dem Summenzeichen steht das Produkt aus der Dichte und drei Differenzen L\x;, L\y;, L\z;. Beim Grenzübergang gehen die Differenzen über in die Differentiale dx, dy und dz. Deshalb benutzt man drei Integralsymbole und spricht von einem Mehrfachintegral. Wir schreiben N M=J~ooLp(x;,y;,z;)L\x;L\y;L\z;= •=1 JJJ p(x,y,z)dxdydz V In Worten: "Integral der Funktion p(x, y, z) über das Volumen V". Dieses mehrfache Integral - hier ein dreifaches Integral - läßt sich auf die Berechnung von drei einfachen bestimmten Integralen zurückführen.

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