Algebra [Lecture notes] by Christoph Schweigert

By Christoph Schweigert

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Example text

Dann ist R(G) = {(x, y) ∈ X × X | ∃g ∈ G so dass gx = y} ¨ eine Aquivalenzrelation auf X. ¨ Beweis: Ubung. 5. 42 ¨ ¨ 1. Die Aquivalenzklassen dieser Aquivalenzrelation heißen Bahnen oder Orbits. Wir bezeichnen die Bahn von x mit [x]: [x] := {y ∈ X | ∃g ∈ G mit gx = y} . h. eine Zerlegung) von X: X= x∈X G ∙ x. Die Menge G\X der Bahnen heißt auch Bahnenraum. 2. Auf jeder nicht-leeren Menge kann man f¨ ur jede Gruppe die triviale Operation definieren: (g, x) → x . 3. Jede Gruppe operiert auf sich selbst durch ihre Verkn u ¨pfung G×G → G (x, y) → x ∙ y In Verallgemeinerung des Falles der additiven Gruppe eines Vektorraums sagt man auch, G operiert auf sich selbst von links durch Translation.

7 sieht man, dass ϕ auch surjektiv ist, woraus der chinesische Restsatz folgt. 9. F¨ ur die Eulersche ϕ-Funktion gilt ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) f¨ ur alle teilerfremden nat¨ urlichen Zahlen m, n. Beweis. 7 eingef¨ uhrt als die Zahl der erzeugenden Elemente der zyklischen Gruppe Zn . Nun ist (a, b) erzeugendes Element von Zm × Zn genau dann, wenn a ein erzeugendes Element von Zm und b ein erzeugendes Element von Zn ist. Daraus folgt aber f¨ ur m und n teilerfremd die Produktformel. Wir werden sp¨ater sehen, dass f¨ ur eine Primzahlpotenz pn gilt ϕ(pn ) = (p − 1)pn−1 .

Der Vergleich der Anzahlen liefert mp = np, woraus m = n folgt. 13 (Eindeutigkeit der Zahl der zyklischen Faktoren). Sei G eine abelsche p–Gruppe und p eine Primzahl. Wir bezeichnen mit Gp = {x ∈ G|xp = e} die Untergruppe derjenigen Elemente, deren Ordnung die Primzahl p teilt. Dann gehorcht die Zahl der zyklischen Faktoren z(G) von G der Gleichung pz(G) = |Gp | . Ferner ist die Zerlegung in zyklische Faktoren bis auf die Reihenfolge eindeutig. 52 Beweis. Wir bemerken, dass in der zyklischen Gruppe Zps genau die p Elemente {0, ps−1 , 2ps−1 , .

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