Direkte Methoden der Variationsrechnung: Ein Lehrbuch by Prof. Dr. Philippe Blanchard, Priv.-Doz. Dr. Erwin Brüning

By Prof. Dr. Philippe Blanchard, Priv.-Doz. Dr. Erwin Brüning (auth.)

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6] G. Choquet: Lectures on Analysis 11. New York-Amsterdam: Benjamin. 1969. 7] W. Ritz: Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik. J. reine angew. Math. 135, 1-61 (1908). 8] R. Courant, D. Hilbert: Methoden der mathematischen Physik, Heidelberger Taschenbücher Nr. 30-31. Berlin-Heidelberg-New York: Springer. 1967 und 1968. 9] J. Cea: Optimisation, theorie et algorithmes. Paris: Dunod. 1971. 11. 1 Allgemeine Bemerkungen Der vorige Abschnitt enthält die fundamentalen Existenz- und Eindeutigkeitssätze der Variationsrechnung in recht großer und für die Anwendungen angemessener Allgemeinheit.

Wir zeigen, daß dieser maximierende Punkt Xo notwendigerweise ein Extremalpunkt von K ist. Annahme: Es gilt: Die strikte Konvexität von f gibt infolge f(Xi) f(xo), i = 1,2: + (l - A)X2) < Af(Xl) + (1 Af(xo) + (1 - A)f(xo) = f(xo) f(xo) = fU"Xl ~ ~ - A)f(X2) und somit einen Widerspruch. d) Die Aussage des Satzes ist für die Bestimmung des Maximums sehr wichtig, weil dadurch die Menge der potentiellen Extremalpunkte der Funktion ganz stark eingeschränkt wird. 5 Das Ritzsche Approximationsverfahren 31 Anwendungen oft vorliegt, braucht man also die Extrema der Funktion nur noch in der endlichen Menge der Extremalpunkte des Polyeders zu suchen.

Ii) j' ist (strikt) monoton auf X. Beweis: Sei f konvex. Für alle x und y aus X und Ä. mit 0 < Ä. ftx) - f(y)]. Daraus folgt

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