El Paraíso de Cantor: La Tradición Conjuntista en la by Roberto Torretti

By Roberto Torretti

De Prefacio:
Este libro es una historia razonada de los angeles tradición conjuntista, desde los primeros escritos de Cantor hasta los angeles publicación de los teoremas de Cohen (1963) y su impacto inmediato. Hago una que otra alusión a Kronecker y me ocupo, cuando hace falta, de Poincaré, pero los angeles importante oposición de Brouwer y Weyl sólo los angeles menciono al paso, sin analizarla, porque el propio Hilbert, que explícitamente outline su empresa filosófica como una defensa de las matemáticas contra ellos, no se dio el trabajo de estudiarlos. Con todo, para el lector curioso, explico brevemente en el Apéndice XIX algunas principles de Brouwer que preceden y motivan los angeles declaración de guerra de Hilbert. En cambio, no me ha parecido oportuno examinar en el presente contexto los angeles fundamentación constructivista del análisis, propuesta inicialmente por Weyl (1918), poco antes de su conversión al brouwerismo, y desarrollada mucho más tarde por Lorenzen (1965) y Bishop (1967).
El libro consta de tres partes, correspondientes a tres etapas en los angeles historia del conjuntismo. El presente volumen contiene las partes 1 y 2. l. a. parte three todavía no está escrita. los angeles parte 1, titulada “Conjuntos”, se refiere a l. a. fundación de l. a. teoría de conjuntos por Cantor, las paradojas que se le enrostran, y los angeles axiomatización de los angeles teoría por Zermelo (1908) y sus continuadores. l. a. parte 2, titulada “Cálculos” gira en torno al programa de Hilbert para darle a l. a. teoría de conjuntos un fundamento intuitivo incontestable, garantizando así a los matemáticos el disfrute del paraíso que – según frase del mismo Hilbert – Cantor ha creado para ellos. Estudia los antecedentes de dicho programa en las obras de Frege, Peano, Dedekind, Russell y Whitehead, y Skolem; su desarrollo en l. a. década de 1920 por Hilbert y sus seguidores; y el inesperado escollo que le salió al encuentro con los hallazgos de Gödel. l. a. parte three, “Modelos”, examinará los angeles contribución al conjuntismo de los métodos semánticos introducidos desde 1930 por Gödel y Tarski.
Pienso que el libro puede servir como introducción histórica al tema. Para leerlo, no es preciso tener conocimientos previos al respecto, pero sí el hábito de leer definiciones y demostraciones matemáticas. Cualquiera que haya seguido cursos universitarios de matemáticas por más de un año tiene ese hábito en los angeles medida requerida aquí. Por otra parte, creo que una character acostumbrada a leer prosa filosófica puede adquirirlo directamente en este mismo libro. Supongo, sí, que el lector filósofo que se interese en él habrá hecho estudios de lógica. Por otra parte, confío en que el lector con educación matemática pero sin estudios de lógica podrá extraer del Apéndice IX (pp. 480-502) toda los angeles información requerida.

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Por eso, Cantor se empeñará mucho en demostrar la Hipótesis del Continuo y se sentirá atribulado por su fracaso. 5 Aritmética transfinita HGC 41 Si ℵκ es el cardinal de un conjunto K, el cardinal de PK es ℵκ+1, cualquiera que sea el ordinal κ. HGC implica el Teorema del Buen Orden (pero no es implicada por él). Por lo tanto, sólo cabría admitirla como un principio que no se demuestra. Volveremos sobre esto en la Tercera Parte. Es claro que bajo HGC los alephs darían abasto para cubrir todas las numerosidades de la “naturaleza corpórea y espiritual”.

Como veremos un poco más adelante, es fácil probar que el conjunto  de los números reales es equinumeroso con P[ω]. La Hipótesis del Continuo significa, entonces, que no hay conjuntos de numerosidad intermedia entre la de [ω] y la de P[ω], de modo que el cardinal de P[ω] —y de — es precisamente ℵ1. La Hipótesis del Continuo constituye así el primer eslabón de una cadena que vincularía la jerarquía de los alephs a las numerosidades generadas por la operación K Å PK. Por eso, Cantor se empeñará mucho en demostrar la Hipótesis del Continuo y se sentirá atribulado por su fracaso.

Por esta razón, los dominios C, D,… son todos estructuralmente idénticos a B. Sea K uno cualquiera de estos dominios. 7 Dicha aplicación es lo que se llama un isomorfismo† (porque retrata fielmente una estructura en la otra) canónico (porque es único en su género). Salvo una particular afición a la recurrencia infinita, no veo qué pueda haber inducido a Cantor a reconocer los dominios C, D,… como diferentes de B. Por último, Cantor coordina los elementos del dominio B con los puntos de una recta (parametrizada) cualquiera.

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