# Grundlagen der Mathematik [Lecture notes] by Thomas Markwig Keilen

By Thomas Markwig Keilen

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Dabei liegt auch ihm ein ganz einfaches Prinzip zugrunde, das wir zun¨achst an einem Beispiel erl¨autern wollen. Die Gesamtheit aller Sch¨ uler einer Schule werden von der Schulleitung zwecks sinnvoller Organisation des Unterrichts in Schulklassen eingeteilt. Dabei achtet die Schulleitung darauf, daß jeder Sch¨ uler zu einer Schulklasse geh¨ort und auch nur zu dieser einen. Etwas mathematischer ausgedr¨ uckt, die Schulleitung teilt die Menge S der Sch¨ uler in paarweise disjunkte Teilmengen Ki, i = 1, .

Fall: 1 ≤ k ≤ n: n n + k−1 k = n! n! + (n + 1 − k)! · (k − 1)! (n − k)! · k! = n! · k n! · (n + 1 − k) + (n + 1 − k)! · k! (n + 1 − k)! · k! = (n + 1)! n! · (k + n + 1 − k) = = (n + 1 − k)! · k! (n + 1 − k)! · k! n+1 . 15 (Binomischer Lehrsatz) Es sei K ein K¨orper, x, y ∈ K und n ∈ N, so gilt n n · xk · yn−k. k (x + y)n = k=0 Beweis: Wir f¨ uhren den Beweis durch Induktion nach n. Induktionsanfang: n = 0: Nach Definition gilt 0 0 · xk · y0−k. k 0 (x + y) = 1 = 1 · 1 · 1 = k=0 Induktionsschluß: n → n + 1: Es gilt (x + y)n+1 =(x + y)n · (x + y) = (x + y)n · x + (x + y)n · y n Ind.

N} injektiv}, und jede injektive Abbildung f : M −→ {1, . . , |M|} ist bijektiv. 21 Zeige, daß durch R := {(x, y) ∈ N × N | x teilt y} eine Ordnungsrelation auf N definiert wird. Ist R eine Totalordnung? 58 I. 22 Definiere auf M = N × N eine Relation durch (m, n) ≤ (k, l) ⇐⇒ 1. 2. 3. 4. max{m, n} < max{k, l} oder (max{m, n} = max{k, l} und m < k) oder (max{m, n} = max{k, l} und m = k und n > l) oder (m, n) = (k, l). Zeige, daß “≤” eine Totalordnung auf M definiert. Stelle graphisch in der Zahlenebene R2 dar, wie die Elemente (m, n) in M mit max{m, n} ≤ 4 angeordnet sind.