Wavelets — Eine Einführung by Prof. Dr. Christian Blatter (auth.)

By Prof. Dr. Christian Blatter (auth.)

Diese Einführung in die Welt der Wavelets ist gedacht für Studenten der Mathematik im Hauptstudium, aber auch für mathematisch interessierte Ingenieure. Sie hat zum Ziel, die notwendigen mathematischen Grundlagen und die eigentlichen Wavelet-Konstruktionen sowie die zugehörigen Algorithmen im Zusammenhang darzustellen. Die (für Studenten) abstrakten Inhalte der "höheren research" werden konkret an Beispielen mathematisch durchsichtig gemacht, z.B. an signaltechnische Erfahrungen von Anwendern. Zahlreiche Figuren und durchgerechnete Beispiele bereichern den Band.

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2~ 2N Operationen erforderlich. 4 sehen, daß sich auch die Rekonstruktion von I aus den Cj,k mit derselben Anzahl von Operationen bewerkstelligen läßt. Zum Vergleich: Die Multiplikation eines Datenvektors der Länge N mit einer N-reihigen Matrix erfordert O(N 2 ) Operationen. 4: Algorithmen. Zum Schluß dieses Abschnitts müssen wir auf ein gewisses Paradoxon aufmerksam machen, das geeignet ist, den Novizen zu verunsichern. Alle Waveletfunktionen 'l/Jr,k (auch diejenigen, die wir erst später kennenlernen) haben Mittelwert 0: i: (r, k E Z) .

6 Das Haar-Wavelet 21 Zr Das Waveletpolynom wr und der Rest Ir sind so bestimmt, daß (4) gilt und Ir auf den Intervallen Ir,k konstant ist. Dieser Wert, mit Ir,k bezeichnet, ist nichts anderes als der Mittelwert von I auf dem Intervall Ir,k. ,,,+1) } 2(fr,2k + Ir,2k+l) (vgl. 17) und setzen . == Wr':= 2r' /2 ur' l: ,k (5) (vgl. die Normierung der 'l/Jr,k) , wr + LCr',k'l/Jr',k' k Ir'(x) := Ir',k (x E Ir',k) . n .. n J,,', k. 17 Beginnend mit r := -n erhält man nach n + m derartigen Schritten die Beziehung I = wm + Im = m L (L Cj,k 'l/Jj,k) j=-n+l k + Im .

Zum Vergleich: Die Multiplikation eines Datenvektors der Länge N mit einer N-reihigen Matrix erfordert O(N 2 ) Operationen. 4: Algorithmen. Zum Schluß dieses Abschnitts müssen wir auf ein gewisses Paradoxon aufmerksam machen, das geeignet ist, den Novizen zu verunsichern. Alle Waveletfunktionen 'l/Jr,k (auch diejenigen, die wir erst später kennenlernen) haben Mittelwert 0: i: (r, k E Z) . 18 dargestellte proximieren? 18 Nun, die Approximation wr --+ J (r --+ 00) erfolgt in L 2 , in vielen praktischen Fällen sogar punktweise, aber nicht in Li.

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